El procedimiento anterior se invierte ahora para encontrar la forma de la función F(x) a partir de su gráfica conocida. Para encontrar la función F, se elige un punto fijo (x0, F0), donde F0 es la abreviatura de F(x0), en algún lugar de la línea recta en el gráfico anterior, y además algún otro punto arbitrario (x1, F1) en la misma gráfica. Luego, a partir de la fórmula de la pendiente arriba indicada:
encontrar la pendiente de la grafica de la funcion
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En este post veremos cómo encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos de diferentes niveles de dificultad.if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[728,90],'funciones_xyz-medrectangle-3','ezslot_10',114,'0','0']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-medrectangle-3-0');if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[300,250],'funciones_xyz-box-2','ezslot_9',104,'0','0']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-box-2-0');Índice
En la imagen de arriba puedes ver una curva representada de color azul, y una recta de color naranja que es tangente a la función en el punto , ya que únicamente tienen ese punto en común. Pues la ecuación de esta recta tangente es , y su pendiente es .Cómo hallar la ecuación de la recta tangenteif(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[970,250],'funciones_xyz-medrectangle-4','ezslot_4',107,'0','0']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-medrectangle-4-0');Para hallar la ecuación de la recta tangente a una función en un punto, se debe hacer:Hallar la pendiente de la recta tangente calculando la derivada de la función en el punto de tangencia.Determinar un punto de la recta tangente.Hallar la ecuación de la recta tangente utilizando la pendiente y el punto de la recta tangente calculados.Ejemplo de la ecuación de la recta tangente a una curvaUna vez hemos visto la teoría sobre la ecuación de la recta tangente, vamos a ver cómo se calcula la ecuación de una recta tangente resolviendo un ejemplo paso a paso:Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto .Sabemos que la ecuación de la recta tangente siempre es de la siguiente forma:Lo primero que debemos hacer es calcular la pendiente de la recta. Así pues, la pendiente de la recta tangente, , será el valor de la derivada de la curva en el punto de tangencia x=1, es decir Así que derivamos la función y luego calculamos if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[970,90],'funciones_xyz-box-4','ezslot_3',106,'0','0']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-box-4-0');Una vez conocemos el valor de , tenemos que hallar un punto de la recta tangente para completar la ecuación de la recta tangente.La ecuación de la recta tangente y la curva siempre tienen un punto en común, que en este caso es . Por tanto, como la curva pasa por este punto, podemos hallar la otra componente del punto calculando Así que el punto de tangencia es:Por este punto pasan tanto la curva como la recta tangente, de modo que también lo podemos utilizar para hallar la ecuación de la recta tangente.
Ahora simplemente tenemos que sustituir los valores encontrados de la pendiente y el punto de la recta tangente en su ecuación:En definitiva, la ecuación de la recta tangente es:También se puede expresar la ecuación de la recta tangente con la ecuación explícita de la recta:A continuación puedes ver representadas la curva y su recta tangente en Como puedes ver, la curva y la recta tangente solamente tienen en común el punto , tal y como habíamos calculado.Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta tangenteEjercicio 1Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto Ver soluciónLa ecuación de la recta tangente siempre será de la siguiente forma:Paso 1: Calcular la pendiente de la recta tangenteLa pendiente, m, es el valor de la derivada de la curva en el punto de tangencia. Por tanto, en este caso Paso 2: Hallar un punto de la recta tangenteLa ecuación de la recta tangente y la curva siempre tienen un punto en común, que en este caso es . Por tanto, como la curva pasa por este punto, podemos hallar la otra componente del punto calculando Así que el punto por el que pasan tanto la curva como la recta tangente es el punto Paso 3: Escribir la ecuación de la recta tangenteAhora simplemente tenemos que sustituir los valores encontrados de la pendiente y el punto de la recta tangente en su ecuación:Así que la ecuación de la recta tangente es: Ejercicio 2if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[300,250],'funciones_xyz-large-leaderboard-2','ezslot_11',110,'0','0']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-large-leaderboard-2-0');if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[300,250],'funciones_xyz-large-leaderboard-2','ezslot_12',110,'0','1']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-large-leaderboard-2-0_1');if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[300,250],'funciones_xyz-large-leaderboard-2','ezslot_13',110,'0','2']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-large-leaderboard-2-0_2');.large-leaderboard-2-multi-110border:none!important;display:inline-block;float:none!important;line-height:0;margin-bottom:2px!important;margin-left:0!important;margin-right:0!important;margin-top:2px!important;max-width:100%!important;min-height:250px;min-width:300px;padding:0Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en el origen de coordenadas.Ver soluciónEl origen de coordenadas se refiere al punto De modo que tenemos que calcular la recta tangente a la función en el punto En primer lugar, determinamos el valor de la pendiente de la recta tangente calculando la derivada en el origen de coordenadas:En este caso ya conocemos un punto por el que pase la recta tangente. Porque el enunciado nos dice que la recta debe ser tangente a la curva en el origen de coordenadas, es decir en el punto Así que el punto que comparten la curva y la recta tangente es el punto Finalmente, solo nos queda sustituir los valores hallados de la pendiente y el punto de la recta tangente en su ecuación:En conclusión, la ecuación de la recta tangente es: Ejercicio 3if(typeof ez_ad_units!='undefined')ez_ad_units.push([[970,250],'funciones_xyz-large-mobile-banner-1','ezslot_14',108,'0','0']);__ez_fad_position('div-gpt-ad-funciones_xyz-large-mobile-banner-1-0');Calcula la recta tangente a la curva que es paralela a la recta .Ver soluciónEn este problema nos dicen que la recta tangente tiene que ser paralela a la recta Y dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Por tanto, la recta tangente debe tener la misma pendiente que la recta Esto significa que debemos hallar la pendiente de la recta Para ello, despejamos la variable y:De manera que la pendiente de la recta es 4, ya que la pendiente de una recta es el número que multiplica a la x cuando la y está despejada.En consecuencia, la pendiente de la recta tangente también tiene que ser 4, ya que para que sean paralelas deben tener la misma pendiente.En este caso no nos dicen el punto de tangencia entre la curva y la recta tangente. Pero sabemos que la derivada de la curva en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la recta tangente, es decir . Pues como sabemos el valor de , podemos hallar x0 de la ecuación
Dada la ecuación implícita de la recta (también conocida como ecuación general o cartesiana):La pendiente de la recta se puede encontrar haciendo:Pendiente dado el vector director de la rectaEl vector director de la recta es el vector que marca su dirección. Entonces, si el vector director de una recta es:La pendiente de dicha recta es:
Además, la pendiente de una recta también indica su inclinación:Si una recta es creciente (va hacia arriba), su pendiente es positiva.Si una recta es decreciente (va hacia abajo), su pendiente es negativa.Si una recta es completamente horizontal, su pendiente es igual a 0.Si una recta es totalmente vertical, su pendiente es equivalente a infinito.Posición relativa de las rectasPor otro lado, también se puede conocer la posición relativa entre dos rectas a partir de las propiedades de las pendientes:Si dos rectas tienen pendientes diferentes significa que son secantes, es decir, que se cortan en algún punto.Además, se puede calcular el ángulo que forman las dos rectas a través de sus pendientes con la siguiente fórmula:En segundo lugar, si dos rectas tienen la misma pendiente implica que son paralelas.Por último, las pendientes de dos rectas perpendiculares u ortogonales (que forman 90º) cumplen la siguiente condición:Esta es una forma de saber si dos rectas son paralelas o perpendiculares entre sí, sin embargo, existen más métodos e incluso algunos son más rápidos. Para saber más puedes ir a la explicación de la perpendicularidad y el paralelismo entre rectas. Además, en estas páginas también está explicado cómo encontrar una recta perpendicular (o paralela) a otra.
Halla la pendiente de la recta que pasa por los siguientes dos puntos:Ver soluciónPara calcular la pendiente de la recta debemos utilizar la fórmula: Ejercicio 2Calcula la pendiente de la recta que pasa por los siguientes dos puntos:Ver soluciónPara encontrar la pendiente de la recta debemos usar la fórmula: Ejercicio 3Cuál es la pendiente de cada recta?
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